Залікова робота

 

Математична логіка




Предмет математичної логiки. Алгебра
висловлень.
1.1. Предмет математичної логiки.
Пiсля засвоєння шкiльних
курсiв алгебри i геометрiї учневi стає зрозумiлим, що найчiткiша наука
– математика, а також, що iснують рiзнi математичнi теорiї. Завдяки,
в основному, геометрiї, учень отримує першi уявлення про те, як буду-
ється математична теорiя; що iснують основнi поняття, якi не можна
означити в термiнах елементарнiших понять, аксiоми про основнi поня-
ття, iснують iншi поняття, якi означаються за допомогою основних, а
також теореми, якi виводяться з аксiом i теорем, якi встановленi ранiше.
Математична логiка – це наука про математичне мислення i стру-
ктуру математичних теорiй. Першi поняття математичної логiки поча-
ли розвиватися ще з часiв грецького фiлософа Арiстотеля (384-322 рр.
до нашої ери) i розвивалися паралельно iз розвитком математики. Су-
часного вигляду математична логiка почала набувати з кiнця XIX ст.,
коли перед математиками постали нерозв’язанi проблеми, якi вже не
можна було розв’язати засобами самої математики. З початку XX ст.
стрiмко почала розвиватися ¾метаматематика¿, тобто, наука про мате-
матику. Зокрема, сформувалася аксiоматична теорiя множин, яка вже
змогла пояснити деякi парадокси ¾наївної¿ теорiї множин. Iншим дже-
релом математичної логiки стали неевклiдовi геометрiї, якi продемон-
стрували, що певнi твердження (наприклад, що аксiома паралельностi
незалежна вiд решти аксiом геометрiї), якi не можна довести в межах
даної теорiї, можна доводити шляхом логiчного аналiзу самої теорiї.
У межах невеличкого курсу ми ознайомимося лише з деякими на-
прямками цiєї науки:
алгебра висловлень;
теорiї першого порядку;
аксiоматична теорiя множин;
теорiя моделей (факультативний роздiл).
1.2. Класи i функцiї.
Розглянемо довiльне математичне понят-
тя, елементарне, яке не можна сформулювати в термiнах iнших понять,
або похiдне, дане за допомогою означення. При вивченнi поняття зру-
чно уявляти зiбрання всiх об’єктiв, якi вiдповiдають даному поняттю,
i яке ми називатимемо
класом
i позначатимемо деякою буквою, напри-
клад,
U
. Далеко не кожний клас можна вважати множиною у звичай-
ному розумiннi, як ми побачимо далi (див. парадокс Рассела). Ми не
вкладаємо конкретного змiсту в саме поняття класу, який позначаємо,










8
в клас
W
, можна ототожнити з функцiєю вiд однiєї змiнної, що дiє з
декартового добутку
U
1
:::
U
n
в клас
W
.


Создан 27 окт 2014